3.6 التحويل من فضاء الحالة إلى دالة انتقال 

عندما يقدّم لك زميل مصفوفات $ A, B, C, D $ بينما تتطلّب أداة التحليل دالة انتقال (Transfer Function)، يلزمك تحويل الصيغتين. الهوية الأساسية هي

$$ G(s) = C (s I - A)^{-1} B + D. $$

لماذا العناء؟ لأن أدوات المجال الترددي—المخطط الجذري (Root Locus)، مخطط بودي (Bode Plot)، مخطط نيكولز (Nichols Chart)—تستهلك دوال الانتقال. التحويل يسمح لك بإعادة استخدام الحدس المتراكم لعقود مع الحفاظ على نموذج فضاء الحالة كمصدر الحقيقة الوحيد.

اتبع التحويل بتأنٍّ:

1. كوّن $ sI - A $. اكتب المصفوفة الرمزية وتأكد أن محدّدها غير صفري لقيم $ s $ العامة. هذه الخطوة تكشف أقطاب النظام.
2. احسب المعكوس. للأنظمة الصغيرة، أنجز الجبر يدويًا؛ للأنظمة الأكبر، استخدم آلة جبر رمزية أو برمجيات عددية. لاحظ كيف يحتوي المرافق (Adjugate) على كثيرات حدود في $ s $.
3. اضرب في $ B $، ثم في $ C $. هاتان الخطوتان تمزجان قنوات الإدخال والإخراج لتكوين كثيرات حدود البسط.
4. أضف $ D $. إذا كان للنظام تغذية مباشرة (Direct Feedthrough)، تظهر هنا. تذكّر: إذا كان النظام صارم الانخفاض، فإن $ D = 0 $.

جرّب ذلك على نموذج الكتلة-النابض-المخمّد الذي اشتققته سابقًا. مع $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \ \frac{1}{m} \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = [0], $$ نفّذ الخطوات وتحقق من أن $$ G(s) = \frac{1}{m s^2 + c s + k}. $$

كفحص ذاتي، ضع قيمًا رقمية—مثل $ m=1 $، $ c=3 $، $ k=2 $—في كلا التمثيلين. حاكي استجابة الخطوة باستخدام محاكاة فضاء الحالة ثم باستخدام دالة الانتقال. هل تتطابق المنحنيات؟ إن لم يحدث، راجع الجبر؛ إشارة ناقصة في $ A $ أو ترتيب حالات خاطئ قد يمر دون أن تلاحظ.